10. Геострофические течения


Перевод: Тронь Александр Анатольевич 

В открытом океане, на масштабах превышающих несколько десятков километров и периодах более нескольких дней и вне приповерхностного и придонного Экмановских пограничных слоев, имеет место т.н. геострофический баланс — почти точное равенство горизонтального градиента давления и Кориолисовой силы, связанной с горизонтальными течениями.

В вертикальном направлении главные действующие силы — вертикальный градиент давления и сила тяжести, также сбалансированы с относительной точностью в несколько миллионных долей, поэтому давление в данном месте почти полностью определяется весом находящегося выше водяного столба. Доминирующие по горизонтали силы – градиент давления и сила Кориолиса, на достаточно больших масштабах длины и времени, уравновешивают друг друга до тысячных долей (См. «Рамку» ).

И тот и другой балансы указывают на то, что вязкие и нелинейные члены в уравнениях движения пренебрежимо малы. Насколько допустимо это приближение ? Рассмотрим вначале эффект вязкости. Хорошо известно, что обычная гребная лодка массой сто килограммов проходит около десяти метров, прежде чем остановиться после прекращения гребли, а супертанкер, движущийся со скоростью лодки, остановится через несколько километров. Для кубического километра воды массой 1015 кг разумной оценкой времени движения до остановки является величина порядка суток. Мезомасштабные вихри в океане содержат примерно 1000 кубических километров воды, поэтому наша интуитивная оценка малости сил вязкости представляется правдоподобной. Конечно, интуиция может и подвести, поэтому нам нужно вновь вернуться к численным оценкам.

10. 1  Гидростатическое равновесие.


Прежде чем детально рассматривать геострофический баланс, обратим внимание на простейшее решение уравнений движения — уравнений для импульса — для океана в состоянии покоя, что вводит гидростатическое давление в его толще. Для получения этого решения положим жидкость неподвижной в начальный момент:

u = v = w = 0; (10.1)


и стационарной в последующие:

(10.2)


а также примем условие отсутствия трения:

fx = fy = fz = 0.  (10.3)

При этих предположениях уравнения движения запишутся как:

(10.4)


где явно указана зависимость, по причинам которые будут указаны ниже, ускорения силы тяжести от широты и вертикальной координаты.




 

Масштабирование уравнений: геострофическое приближение.

Попытаемся упростить уравнения движения в глубине океана ниже поверхностного Экмановского пограничного слоя, для чего оценим характерный вклад каждого члена, отбрасывая малые слагаемые, существенно не влияющие на решение. Для толщи океана характерные величины горизонтального размера L, горизонтальной скорости U, глубины H, параметр Кориолиса f, ускорения силы тяжести gи плотности ρ :

L » 106m
f» 10-4s-1
U» 10-1m/s
g» 10 m/s2
H» 103m
r» 103kg/m3


где H1и H2 — характерные масштабы изменения давления в вертикальном и горизонтальном направлениях.

Из этих величин можно получить оценки вертикальной скорости W, давления Pи характерного времени T:

 


Уравнение для вертикальной скорости:

 

 


Отсюда следует, что единственными значимыми членами являются:

 

 


Для составляющей горизонтальной скорости по оси х имеем:

 

 


Таким образом, сила Кориолиса компенсирует градиент давления с точностью до одной тысячной, что и называется геострофическим балансом, а геострофическими уравнениями являются:

 

 


Этот баланс применим к потокам с горизонтальным масштабом больше, примерно, 50 км и на временах превышающих несколько дней.


Из уравнения (10.4) следует, что поверхности постоянного давления, называемые изобарическими поверхностями, являются, в тоже время, поверхностями постоянного уровня. Последнее уравнение в (10.4) может быть проинтегрировано, что дает выражение для давления на любой глубине:

  (10.5)

где плотность в состоянии покоя ρесть функция глубины.

Во многих случаях, g и ρ являются константами, и p = g hρ. Позднее будет показано, (10.5) выполняется с точностью до одной миллионной, даже если океан не находится в состоянии покоя.


В системе СИ единицей давления является паскаль Па. Другой распространенной единицей является бар, причем 1 бар = 105 Па (Таблица 10.1). Поскольку глубина моря в метрах почти точно численно совпадает с давлением в децибарах, океанографы предпочитают выражать давление именно в децибарах.

 

Таблица 10.1.

_____________________________________

1 паскаль (Па) = 1 н/м2 = 1 кг сек-1 м-1

1 бар = 105 Па

1 децибар = 104 Па

1 миллибар = 100 Па

_____________________________________

 


10.2 Геострофические уравнения

 


Из геострофического баланса следует равенство силы Кориолиса горизонтальному градиенту давления. Уравнения геострофического баланса получаются из уравнений движения при следующих допущениях: движение происходит без ускорения, т.е. du/dt = dv/dt = dw/dt; горизонтальные составляющие скорости намного больше вертикальной w << u,v; единственной внешней силой является сила тяжести; трение пренебрежимо мало. При этом система уравнений (7.12) запишется как:

(10.6)


где f = 2 Ω sin φ — параметр Кориолиса. Уравнения (10.6) называются геострофическими уравнениями.

Их можно переписать в виде:

(10.7a)

(10.7b)


где p0 — атмосферное давление при z = 0 , а ζ – возвышение уровня морской поверхности. Заметим, что возвышение уровня может быть как выше, так и ниже поверхности z = 0, а поверхностный градиент давления компенсируется поверхностным течением us.

Подстановка (10.7b) в (10.7a) дает

(10.8a)


где использовано приближение Буссинеска, т.е. сохранение точного значения для плотности ρ только при вычислении давления.

Аналогично, можно получить уравнение для компоненты v

(10.8b)


первый член в (10.8b) обращается в нуль, а горизонтальные градиенты давления в толще океана равны градиенту при z = 0 . Это случай т.н. баротропного течения, описываемого в § 10.4.

В стратифицированном океане, горизонтальный градиент давления состоит их двух вкладов — один связан с наклоном уровня морской поверхности, другой с горизонтальными изменениями плотности. В этом случае эти уравнения включают бароклинное течение, также рассматриваемое в § 10.4. Первый член в (10.8b) связан с изменениями плотности ρ(z) и называется относительной скоростью. Таким образом, расчет геострофических течений из возмущений плотности требует задания скорости (u0, v0) на поверхности моря или на некоторой глубине.

 
      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Be the first to comment on "10. Геострофические течения"

Leave a comment

Your email address will not be published.


*